单双属性克制系数计算方法与n属性计算公式猜想

赛尔号赛尔号计算解析系列文章(第二期)：单双属性克制系数计算方法与n属性计算公式猜想，由橙汁带来的浓浓学术氛围的解析攻略来啦!想要自己尝试计算属性克制关系的小赛尔们可以来看看哦~

【文章大体介绍】

本文主要是介绍单属性与双属性的克制系数计算方法，解析常见的错误的计算方法加以改正，并根据单双属性推测推广n属性的算法。

在开始正文之前，我先来回答一些大家可能会问到的一些问题，这些问题的回答或许对您阅读文章有一定帮助。

Q：这种文章岂不是把简单的问题复杂化?

A：从实践中总结经验，由特殊推广到一般，将实践经验上升为理论成果，最终还要用理论指导实践活动，并在实践中检验与发展真理。这大概就是我们所说的“辩证唯物主义认识论”吧。数学模型的提出不是将简单的问题复杂化，而是将具体的事物抽象出其本质，在更深的层面认识世界，并用以更好地改变世界。

Q：只是玩一个游戏至于这样吗?

A：对于一个游戏，是否值得花费精力对其进行更加彻底地剖析呢?或许每个人的想法不同，对于游戏，怎样去玩每个人有不同的见解。对游戏的运行机制进行分析何尝不是一种游玩游戏的方式呢?

Q：我一点儿都看不懂怎么办?我该如何阅读这篇文章?

A：由于使用了数学函数工具，所以或许对于一部分玩家阅读起来比较难以理解，不过我相信看这篇文章的小伙伴都是学霸，仔细阅读一定可以看懂的。一般玩家阅读完文章可以掌握单属性与双属性的克制系数计算方法，为了帮助大家理解，文章中除了数学表达式，也有很多文字描述，并且还有实战举例。对于数学感兴趣的小伙伴可以阅读一下n属性克制系数计算公式，这一部分比较难理解。对于编程感兴趣的小伙伴可以看一下最后的C++代码。如果你实在看不懂数学猜想和代码那些部分，你可以了解一下单双属性的计算方法。

Q：写这篇文章的目的是什么?

A：主要是为了帮助大家搞清楚单属性与双属性的克制系数的计算方法，并纠正大家常犯的错误的计算方法，帮助大家了解一些游戏运行的机制，并讲述一下关于n属性系数计算公式的猜想。

【单双属性克制系数计算方法】

接下来开始正文。首先，我们来了解一下游戏中实战的单属性与双属性克制系数计算方法。

1、单属性攻击单属性的克制系数：

查表获得，系数只能为0(无效)、0.5(微弱)、1(普通)、2(克制)这四个数。

假设攻击方单属性为A，防守方单属性为B，A攻击B的克制系数为x1 ,则对于A打B的克制系数f(1,x1),有f(1,x1)= x1 。

2、双属性攻击单属性的克制系数：

如果攻击方的两个属性打防守方单属性的两个系数都是2，那么该双属性打单属性的系数为2+2=4;

如果攻击方的两个属性打防守方单属性的两个系数中至少有一个是0，那么双属性打单属性的系数为两个系数之和÷4;

如果不是以上两种情况，即其他的情况，那么双属性打单属性的系数为两个系数之和÷2。

假设攻击方双属性为A·B，防守方单属性为C，A攻击C的克制系数为x1，B攻击C的克制系数为x2 ,则对于A·B打C的克制系数f(2,x1,x2)。

3、单属性攻击双属性的克制系数：

如果攻击方单属性属性打防守方的两个属性的两个系数都是2，那么该单属性打双属性的系数为2+2=4;

如果攻击方单属性打防守方的两个属性的两个系数中至少有一个是0，那么单属性打双属性的系数为两个系数之和÷4;

如果不是以上两种情况，即其他的情况，那么单属性打双属性的系数为两个系数之和÷2。

假设攻击方单属性为A，防守方双属性为B·C，A攻击B的克制系数为x1，A攻击C的克制系数为x2 ,则对于A打B·C的克制系数f(2,x1,x2)。

4、双属性攻击双属性的克制系数：

用攻击方的双属性打防守方的两个属性的系数加和，再÷2。

注意，不要弄反，一定要用攻击方双属性打防守方2个组成的单属性的系数之和进行计算，也就是说拆分的是防守方的两个属性。

假设攻击方单属性为A·B，防守方双属性为C·D，A·B攻击C的克制系数为f1(2,x11,x12)，A·B攻击D的克制系数为f2(2,x21,x22) ,则对于A·B打C·D的克制系数g[2, f1(2,x11,x12), f2(2,x21,x22)],有g[2, f1(2,x11,x12), f2(2,x21,x22)]= [f1(2,x11,x12) + f2(2,x21,x22)] ÷ 2。

【举例说明与验证】

可能看理论公式比较抽象，不好理解，下面我们讲几个例子说明一下。

例1】计算圣灵·地面系打电·火系的克制系数。

解：经查表可知，圣灵系打电系的系数x11为2，地面系打电系的系数x12为2，圣灵系打火系的系数x21为2，地面系打火系的系数x22为2，

则圣灵·地面系打电系的系数f1(2,x11,x12)= x11 + x12 = 2+2 = 4 , 圣灵·地面系打火系的系数f2(2,x21,x22)= x21 + x22 = 2+2 = 4 ,

进而圣灵·地面系打电·火系的系数g[2, f1(2,x11,x12), f2(2,x21,x22)]= [f1(2,x11,x12) + f2(2,x21,x22)] ÷ 2 =( 4+4 ) ÷ 2 = 4。

易错点：将单属性与双属性的算法强加给双属性与双属性的算法上，错认为两个4倍会变成8倍。

例2】计算圣灵·超能系打电·火系的克制系数。

解：经查表可知，圣灵系打电系的系数x11为2，超能系打电系的系数x12为1，圣灵系打火系的系数x21为2，超能系打火系的系数x22为1，

则圣灵·超能系打电系的系数f1(2,x11,x12)= x11 + x12 = ( 2+1 )÷2 = 1.5 , 圣灵·超能系打火系的系数f2(2,x21,x22)= x21 + x22 = ( 2+1 ) ÷ 2 = 1.5,

进而圣灵·超能系打电·火系的系数g[2, f1(2,x11,x12), f2(2,x21,x22)]= [f1(2,x11,x12) + f2(2,x21,x22)] ÷ 2 =( 1.5+1.5 ) ÷ 2 = 1.5。

易错点：错将攻击方的两个属性拆分，然后用两个攻击方的单属性打防守方双属性的系数进行计算，会错误地得到结果(4+1)÷2=2.5。

下面，为了验证例2计算结果的正确性，我们进行实战测试。(感谢阿狸与逆天帮助数据测试)

测试采用的防守方的火电王和圣缪的特防都是一样的，而且攻击方的缪斯都是首回合出招打伤害，打完就刷新重测，可以保证严格控制变量，即唯一变量为属性克制系数。由于圣缪第五技能效果“攻击时造成的伤害不会出现微弱(克制关系为微弱时都变成普通)”，因此在实战中，圣缪第五技能打对方圣缪的克制系数为1，理论上打火电王的克制系数为1.5。

由于时间匆忙，于是只打了6次(12场)进行测试，当然打的越多，算平均值就越准确。以下是这12场的伤害测试结果，表格中平均值为6次平均伤害取值，理论值为由伤害计算公式计算(我是用自制的伤害计算器算的)而来的理论平均伤害值。

伤害测试	格劳恩斯	圣瞳缪斯	伤害倍数
第一次	611	395	1.54683544
第二次	585	428	1.36682243
第三次	547	379	1.44327177
第四次	550	366	1.50273224
第五次	598	374	1.59893048
第六次	628	422	1.48815166
平均值	586.5	394	1.48857868
理论值	595	397	1.50000000

做好表格，我们将数据的折线图画出来，可以看到，打火电王(1.5倍)的伤害在600左右，打圣缪(1倍)的伤害在400左右，相除得到的结果正好是1.5倍理论值。

【n属性计算公式数学猜想】

以上就是我们在游戏的实际中遇到的属性克制系数的计算问题，接下来，我们将属性个数n进行推广。

通过对n=1,2也就是单属性与双属性的算法，我做了以下的公式推广，在理论上，可以实现n属性的计算。

注意：以下内容是猜想归纳的内容，对于单双属性而言符合游戏实际规律，三属性及以上为在单双属性实际情况的基础上所做出的大胆猜想。以下内容比较难理解，没有数学功底的小伙伴可以直接放弃阅读了。

计算多属性攻击单属性或者多属性攻击单属性的系数，

最终系数 = 各个属性攻击单属性的系数之和 ÷ 属性个数 ×(1+系数中2倍系数重复的个数)÷(1+系数中0倍系数的个数)

其中重复的个数指的是：出现0次或1次，则重复的个数是0;出现2次，重复的个数是1;出现3次，重复的个数是2;以此类推。

将算法用数学表达式进行表达如下，(表达方法有很多种，以下只是其中一种算法，数学公式只是为了直接代数，对于计算机而言计算方便，不需要进行逻辑判断，因此，只要能表达上述文字描述的定义式的结果，形式如何无所谓，并且可以多种多样)。

假设多属性的属性个数为n (n∈Z)，每个属性攻击单属性的系数为xi(i=1,2,..,n)，则n属性攻击单属性的计算公式f(n,x1,x2,…,xn)如下，(为了突出取整函数，不使其与中括号混淆，下文中向下取整函数“y=[x]”一律写作“y=Int(x)”)。

上述公式中又是取整又是求反正切函数，可能看的眼花缭乱，其实万变不离其宗，都是在计算2倍系数重复的个数与系数中0倍系数的个数。

计算多属性攻击多属性的系数，

最终系数 = 攻击方每个多属性攻击防守方各个属性的系数之和 ÷ 防守方属性的个数

注意：加和的是攻击方多属性攻击防守方各个单属性的系数，也就是说拆分的是防守方的两个属性，不能弄反，否则会得到错误的结果。

假设防守多属性的属性个数为n (n∈Z)，攻击方的属性攻击防守方各个单属性的系数为fi(n,xi1,xi2,…,xin) (i=1,2,..,n)，则多属性攻击n属性的计算公式g[n, f1(n,x11,x12,…,x1n), f2(n,x21,x22,…,x2n),…, fn(n,x n1,x n2,…,xnn)]如下：

对于单属性而言，只需要查表获得系数，只有一种情况;对于双属性而言，有双2倍、其一0、其他这三种情况;那么对于三属性而言，假设每个单属性攻击无效(系数为0)的属性只有一个，那就有三2倍、双2倍一个0、双2倍无0、非双2倍一个0、其他这五种情况;之后会越来越复杂。

根据游戏的大环境与游戏公司的想法，三属性及以上或许是不会出现的。不必说算法的复杂程度，就是系数范围也比较大，影响平衡。并且，一般人能在3秒以内准确计算出单属性和双属性的克制系数，对于三属性就有点困难了。

不过我个人觉得，如果按照上面的算法，三属性还是可以出一下的。目前单属性的系数范围为[0,2]，双属性的系数范围为[0.125,4]，而按照以上算法的三属性的系数范围为[0.1667,6]。

【进一步举例讲解】

或许大家对这个f(n,x)表达式比较懵逼，我进一步讲解，在讲解这个式子之前，让我们来再次看一下猜想的定义式，并用例子来说明一下。

最终系数 = 各个属性攻击单属性的系数之和 ÷ 属性个数 ×(1+系数中2倍系数重复的个数)÷(1+系数中0倍系数的个数)

我们如果要想知道系数中2倍系数重复的个数，就需要知道系数中2倍系数的个数，如果系数中有0或1个2倍系数，那么系数中2倍系数重复的个数就是0;如果是系数中有2个2倍系数，那么重复的2倍系数就有1个;如果系数中有3个2倍系数，那么重复的2倍系数就有2个;……;以此类推。

n=1(单属性)或n=2(双属性)时，也就是我们所面对的真实的游戏系数。拿我们在游戏中实际的例子来说，火系打草系的克制系数为2，那最终克制系数这样算：“各个属性攻击单属性的系数之和”为2，因为就只有一个属性;“属性个数”自然是1，“(1+系数中2倍系数重复的个数)”是1;因为系数中只有一个2倍系数，所以重复的2倍系数为0个，1+0=0;“(1+系数中0倍系数的个数)”是1，系数中没有0倍系数，1+0=1;那么也就是2÷1×1÷1=2，这对于单属性显然成立。那么，对于双属性呢?火·飞行系打草系的克制系数可以这样算：火打草是2倍，飞行打草是2倍，那么“各个属性攻击单属性的系数之和”为4，2+2=4;属性有火与飞行，“属性个数”是2个;“(1+系数中2倍系数重复的个数)”是2;因为系数中有两个2倍系数，所以重复的2倍系数为1个，1+1=2;“(1+系数中0倍系数的个数)”是1，系数中没有0倍系数，1+0=1;那么也就是4÷2×2÷1=4，这也符合双属性的计算方法。

那么对于猜想的n=3及以上怎么计算呢?方法一样呦，假设让我们来算一下水·火·草系打机械系的克制系数：“各个属性攻击单属性的系数之和”为1+2+0.5=3.5，“属性个数”是3，“(1+系数中2倍系数重复的个数)”是1+0=1，“(1+系数中0倍系数的个数)”是1+0=1，那么最终系数为3.5÷3×1÷1=1.1667。

之所以我猜想的定义式是这样的，是为了保证n=1或2(即单双属性)对于这个式子是成立的，这是基础，之后才会有n=3或更多的推导。

举完例子，大家对于定义式或许有了一定的了解了，那么让我们继续看一下那个很可怕的f(n,x)吧。

让我们把代数式一一对应，分子的 对应的是“各个属性攻击单属性的系数之和”，分母的n对应的是“属性个数”，

分子的对应的是“1+系数中2倍系数重复的个数”，

分母的对应的是“1+系数中0倍系数的个数”。

前两个都好理解，关键是后两个比较长的式子比较难理解，其实，这只是计算文字所描述的内容的一种数学表达形式，并且不是唯一的。

要想知道“系数中2倍系数重复的个数”，就要先知道“系数中2倍系数的个数”，基础系数只有0，0.5，1，2这四个，因此可以用取整函数来帮忙，计算Int(xi/2)，如果系数xi是2，那么这个结果就是1，否则就是0，那所有的xi都加起来求和，就能知道系数中总共有几个2倍系数。而要计算重复的2倍系数的个数，还有一个问题，如果有2倍系数，即2倍系数的个数大于等于1，那直接用2倍系数的个数-1就可以得到结果，但如果系数中没有2倍系数，也就是2倍系数的个数为0，就不能减了。

简单的话，我们可以用最大值函数来计算“系数中2倍系数重复的个数”，也就是：

那1+系数中2倍系数重复的个数=

如果我们想玩点花样的话，就可以用反正切函数。我们现在观察一下这个函数的图像。

当x<0时，-1<y<0；当x=0时，y=0；当x>0时，0<y<1。我们要把这个特性用到克制系数的个数统计上，那就需要根据系数的特点进行调整。基础系数只有0，0.5，1，2这四个，那么对于x-0.5来说，x=0时，x-0.5=-0.5，-1<2/π*arctan(x-0.5)<0，Int[2/π*arctan(x-0.5)]=-1，Int[2/π*arctan(x-0.5)]+1=0；x≠0（即x=0.5,1或2）时，x-0.5≥0，0≤2/π*arctan(x-0.5) <1，Int[2/π*arctan(x-0.5)]=0，Int[2/π*arctan(x-0.5)]+1=1。这样，我们就把0和非0分开了。1代表有，0代表无。在f(n,x)表达式中，1代表要减去，0则代表不减，这正合我们的心意。于是“1+系数中2倍系数重复的个数”就变成了我们在上文看到的形式，也就是：

那么，统计系数中0倍系数的个数也是相似的方法，我就不详细叙述了，有兴趣的小伙伴可以自己推导一下。

解决了n对1或1对n的f(n,x)，那么n对n的g(n,f)就好办了，g(n,f)其实就是把那些f(n,x)都求出来，然后加和，最后再除以属性个数n就好了。

比如，在游戏中双属性克制系数的计算，电·火系打圣灵·地面系的系数g=(f1+f2)/2=0.375。其中电·火系打圣灵的系数f1=(0.5+0.5)/2=0.5，电·火系打地面的系数f2=(0+1)/4=0.25。

再举个猜想的三属性的例子，假设需要根据以上公式计算混沌·神灵·轮回系打圣灵·自然系的系数。混沌·神灵·轮回系打圣灵系的系数f1=(1+1+2)/3×1/1=4/3，混沌·神灵·轮回系打自然系的系数f2=(2+1+0.5)/3×1/1=7/6，则混沌·神灵·轮回系打圣灵·自然系的克制系数g=(f1+f2)/2=15/12=1.25。

都说数学是最烧脑的，能坚持把这些都看完的小伙伴，我表示很佩服，估计大多数人的想法都是“太长，不看”。

【代码计算n属性克制系数】

最后又到了写代码的时间咯，以下是我写的n属性攻击单属性的克制系数计算代码。

用了两种方法，一种是根据文字描述而计算的定义法，一种是利用数学表达式直接计算的公式法。

布尔值mathWay为True则采用公式法进行计算，为False则采用定义法计算。

所用语言为C++，软件是Microsoft Visual Studio。